Geometria Układu Słonecznego w Modelu Mariusza Najdy



W tych rozważaniach pragnę obliczyć dwie rzeczy:
1. Jakie powinny być odległości między Ziemią a planetami leżącymi dalej niż Ziemia od Słońca? Zrobimy to na przykładzie Marsa, Jowisza i Saturna.
2. Jakie powinny być kąty maksymalnego zbliżenia wyżej wymienionych planet do Słońca, gdy obserwujemy to z Ziemi?
Przypomnijmy jakie odległości wychodzą z pomiarów: rozbić to na dwa rysunki - jeden dla odległości, drugi dla kątów.

Maksymalne odległości Marsa, Jowisza i Saturna od Ziemi


Na początku warto zaznaczyć, że odległości minimalne wszystkich planet od Ziemi są takie same w obu modelach. Różnice pojawiają się dla odległości maksymalnych, które za chwilę obliczymy:

Pierwszym krokiem jest narysowanie w sposób poglądowy tego układu planet i Słońca. Najwygodniej będzie zrobić to w odpowiednim rzucie:

Rys. 1.

Jak łatwo się domyślić w Modelu Mariusza Najdy największa odległość Między Ziemią a jedną z opisywanych planet będzie największa, gdy Ziemia Znajdzie się w peryhelium, a planeta w aphelium. Wobec tego wprowadźmy stosowne oznaczenia:
Z2 - pozycja Ziemi w peryhelium
M1 - pozycja Marsa w aphelium
J1 - pozycja Jowisza w aphelium
S1 - pozycja Saturna w aphelium
zp - długość odcinka Z2S czyli odległość Ziemi od Słońca w peryhelium
ma - długość odcinka M1S czyli odległość Marsa od Słońca w aphelium
ja - długość odcinka J2S czyli odległość Jowisza od Słońca w aphelium
sa - długość odcinka S3S czyli odległość Saturna od Słońca w aphelium
Rm - maksymalna odległość Marsa od Ziemi
Rj - maksymalna odległość Jowisza od Ziemi
Rs - maksymalna odległość Saturna od Ziemi
Wszystkie maksymalne odległości obliczymy z twierdzenia cosinusów:
W przypadku Marsa będzie to:
Rm2 = zp2 + ma2 - 2zpmacosω
Po odpowiednich podstawieniach otrzymamy: Rm = 184 mln km
W przypadku Jowsza równanie wygląda następująco:
Rj2 = zp2 + ja2 - 2zpjacosω
Po odpowiednich podstawieniach otrzymamy: Rj = 724 mln km
A w przypadku Saturna:
Rs2 = zp2 + sa2 - 2zpsacosω
Po odpowiednich podstawieniach otrzymamy: Rs = 1408 mln km

Minimalne odległości kątowe planet od Słońca w Modelu Mariusza Najdy

Jak łatwo zauważyć najmniejszy kąt między planetę zewnętrzną a Słońcem powstaje, gdy Ziemia znajduje się w aphelium, zaś odpowiednia planeta w peryhelium.

Rys. 2.
.

Oznaczenia:
ω - kąt rozwarcia stożka
m, j, s - odległości Marsa, Jowisza i Saturna od Ziemi, gdy Ziemia jest w aphelium, a pozostałe planety w peryhelium;
αM kąt między Marsem a Słońcem widziany z Ziemi;
αJ kąt między Jowiszemem a Słońcem widziany z Ziemi;
αS kąt między Saturnem a Słońcem widziany z Ziemi;
za - długość odcinka SZ1, czyli odległość Ziemi w aphelium od Słońca;
mp - długość odcinka SM2, czyli odległość Marsa w peryhelium od Słońca;
jp - długość odcinka SJ2, czyli odległość Jowisza w peryhelium od Słońca;
sp - długość odcinka SS2, czyli odległość Saturna w peryhelium od Słońca;

Zanim wyznaczymy szukane kąty musimy obliczyć odległości: m, j oraz s.
Zrobimy to korzystając z twierdzenia cosinusów, a więc:
Obliczenia dla Marsa:
m2 = za2 + mp2 - 2zampcosω
stąd m = 151 mln km
Teraz znamy wszystkie boki w trójkącie SM2M1, a zatem ponownie z twierdzenia cosinusów bez trudu obliczymy kąt αm:
mp2 = za2 + m2 - 2zamcosαM
Po odpowiednich przekształceniach i podstawieniach otrzymamy: cosαM = (za2 + m2 - mp2)/2zam = 0,0756
czyli αM = 85o Obliczena dla Jowisza:
j2 = za2 + jp2 - 2zajpcosω
stąd j = 646 mln km.
Teraz znamy wszystkie boki w trójkącie SJ2M1, a zatem analogicznie jak poprzednio bez trudu obliczymy kąt αj:
cosαJ = (za2 + j2 - jp2)/2zaj = -0,5476. A zatem nawet bez tablic trygonometrycznych widać, że kąt musi być większy niż 90o
Kąt αJ = 123o
Obliczenia dla Saturna:
s2 = za2 + sp2 - 2zaspcosω
stąd s = 1250 mln km. Teraz znamy wszystkie boki w trójkącie SS2M1, a zatem ponownie z twierdzenia cosinusów bez trudu obliczymy kąt αs:
Po odpowiednich przekształceniach i podstawieniach otrzymamy:
cosαS = (za2 + s2 - sp2)/2zas = -0,6163.
Zatem kąt znowu jest większy niż 90o
KątαS = 128o



Powrót


Manifo.com - make your own free website