Geometria Układu Słonecznego w Modelu Mariusza Najdy
W tych rozważaniach
pragnę obliczyć dwie rzeczy:
1. Jakie powinny być odległości między Ziemią a planetami leżącymi dalej niż Ziemia od Słońca?
Zrobimy to na przykładzie Marsa, Jowisza i Saturna.
2. Jakie powinny być kąty maksymalnego zbliżenia wyżej wymienionych planet do Słońca, gdy
obserwujemy to z Ziemi?
Przypomnijmy jakie odległości wychodzą z pomiarów:
rozbić to na dwa rysunki - jeden dla odległości, drugi dla kątów.
Maksymalne odległości Marsa, Jowisza i Saturna od Ziemi
Na początku warto zaznaczyć, że odległości minimalne wszystkich planet od Ziemi są takie same
w obu modelach. Różnice pojawiają się dla odległości maksymalnych, które za chwilę
obliczymy:
Pierwszym krokiem jest narysowanie w sposób poglądowy tego układu planet i Słońca.
Najwygodniej będzie zrobić to w odpowiednim rzucie:
Rys.
1.
Jak łatwo się domyślić w Modelu Mariusza Najdy największa odległość Między Ziemią a jedną z
opisywanych planet będzie największa, gdy Ziemia Znajdzie się w peryhelium, a planeta w
aphelium. Wobec tego wprowadźmy stosowne oznaczenia:
Z
2 - pozycja Ziemi w peryhelium
M
1 - pozycja Marsa w aphelium
J
1 - pozycja Jowisza w aphelium
S
1 - pozycja Saturna w aphelium
z
p - długość odcinka Z
2S czyli odległość Ziemi od Słońca w
peryhelium
m
a - długość odcinka M
1S czyli odległość Marsa od Słońca w aphelium
j
a - długość odcinka J
2S czyli odległość Jowisza od Słońca w
aphelium
s
a - długość odcinka S
3S czyli odległość Saturna od Słońca w
aphelium
R
m - maksymalna odległość Marsa od Ziemi
R
j - maksymalna odległość Jowisza od Ziemi
R
s - maksymalna odległość Saturna od Ziemi
Wszystkie maksymalne odległości obliczymy z twierdzenia cosinusów:
W przypadku Marsa będzie
to:
R
m2 = z
p2 + m
a2 -
2z
pm
acosω
Po odpowiednich podstawieniach otrzymamy:
R
m = 184 mln km
W przypadku Jowsza równanie wygląda następująco:
R
j2 = z
p2 + j
a2 -
2z
pj
acosω
Po odpowiednich podstawieniach otrzymamy:
R
j = 724 mln km
A w przypadku Saturna:
R
s2 = z
p2 + s
a2 -
2z
ps
acosω
Po odpowiednich podstawieniach otrzymamy:
R
s = 1408 mln km
Minimalne odległości kątowe planet od Słońca w Modelu Mariusza Najdy
Jak łatwo zauważyć najmniejszy kąt między planetę zewnętrzną a Słońcem powstaje, gdy Ziemia
znajduje się w aphelium, zaś odpowiednia planeta w peryhelium.
Rys. 2..
Oznaczenia:
ω - kąt rozwarcia stożka
m, j, s - odległości Marsa, Jowisza i Saturna od Ziemi, gdy Ziemia jest w aphelium, a
pozostałe planety w peryhelium;
α
M kąt między Marsem a Słońcem widziany z Ziemi;
α
J kąt między Jowiszemem a Słońcem widziany z Ziemi;
α
S kąt między Saturnem a Słońcem widziany z Ziemi;
z
a - długość odcinka SZ
1, czyli odległość Ziemi w aphelium od
Słońca;
m
p - długość odcinka SM
2, czyli odległość Marsa w peryhelium od
Słońca;
j
p - długość odcinka SJ
2, czyli odległość Jowisza w peryhelium od
Słońca;
s
p - długość odcinka SS
2, czyli odległość Saturna w peryhelium od
Słońca;
Zanim wyznaczymy szukane kąty musimy obliczyć odległości: m, j oraz s.
Zrobimy to korzystając z twierdzenia cosinusów, a więc:
Obliczenia dla Marsa:
m
2 = z
a2 + m
p2 -
2z
am
pcosω
stąd m = 151 mln km
Teraz znamy wszystkie boki w trójkącie SM
2M
1, a zatem ponownie z
twierdzenia cosinusów bez trudu obliczymy kąt α
m:
m
p2 = z
a2 + m
2 -
2z
amcosα
M
Po odpowiednich przekształceniach i podstawieniach otrzymamy:
cosα
M = (z
a2 + m
2 -
m
p2)/2z
am = 0,0756
czyli α
M = 85
o
Obliczena dla Jowisza:
j
2 = z
a2 + j
p2 -
2z
aj
pcosω
stąd j = 646 mln km.
Teraz znamy wszystkie boki w trójkącie SJ
2M
1, a zatem analogicznie jak
poprzednio bez trudu obliczymy kąt α
j:
cosα
J = (z
a2 + j
2 -
j
p2)/2z
aj = -0,5476. A zatem nawet bez tablic
trygonometrycznych widać, że kąt musi być większy niż 90
o
Kąt α
J = 123
o
Obliczenia dla Saturna:
s
2 = z
a2 + s
p2 -
2z
as
pcosω
stąd s = 1250 mln km.
Teraz znamy wszystkie boki w trójkącie SS
2M
1, a zatem ponownie z
twierdzenia cosinusów bez trudu obliczymy kąt α
s:
Po odpowiednich przekształceniach i podstawieniach otrzymamy:
cosα
S = (z
a2 + s
2 -
s
p2)/2z
as = -0,6163.
Zatem kąt znowu jest większy niż 90
o
Kątα
S = 128
o
Powrót
Kreator stron WWW
Manifo.com - make your own free website